Question

10．如圖，在二面角α-l-β的棱l上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，若二面角α-l-β的大小為$\frac{π}{3}$，AB=AC=2，CD=$\sqrt{11}$，則BD=3．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件知 ${\overrightarrow{CD}}^{2}$=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²，由此利用向量法能求出CD的長．

解答 解：∵在一個(gè)60°的二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，AB=AC=2，CD=$\sqrt{11}$，
 ${\overrightarrow{CD}}^{2}$=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²=${\overrightarrow{CA}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{BD}}^{2}$$+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$$+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$
11=4+4+${\overrightarrow{BD}}^{2}$+0+0-2×$2×\left|\overrightarrow{BD}\right|×\frac{1}{2}$，
${\overrightarrow{BD}}^{2}$-$2\left|\overrightarrow{BD}\right|$-3=0，
解得$\left|\overrightarrow{BD}\right|$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．