Question

12．甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號(hào)召，決定各購(gòu)置一輛純電動(dòng)汽車．經(jīng)了解目前市場(chǎng)上銷售的主流純電動(dòng)汽車，按續(xù)駛里程數(shù)R（單位：公里）可分為三類車型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲從A，B，C三類車型中挑選，乙從B，C兩類車型中挑選，甲、乙二人選擇各類車型的概率如表：

車型 概率 人	A	B	C
甲	$\frac{1}{5}$	p	q
乙	/	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$

若甲、乙都選C類車型的概率為$\frac{3}{10}$．
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲、乙選擇不同車型的概率；
（Ⅲ）某市對(duì)購(gòu)買純電動(dòng)汽車進(jìn)行補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

車型	A	B	C
補(bǔ)貼金額（萬(wàn)元/輛）	3	4	5

記甲、乙兩人購(gòu)車所獲得的財(cái)政補(bǔ)貼和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率乘法公式和概率分布列性質(zhì)列出方程組能求出p，q．
（Ⅱ）設(shè)“甲、乙選擇不同車型”為事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙選擇不同車型的概率．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為7，8，9，10，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}q=\frac{3}{10}}\\{p+q+\frac{1}{5}=1}\end{array}\right.$，
解得p=$\frac{2}{5}$，q=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）設(shè)“甲、乙選擇不同車型”為事件A，
則P（A）=$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為7，8，9，10，
P（X=7）=$\frac{1}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{2}{25}$，
P（X=8）=$\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{7}{25}$，
P（X=9）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{10}{25}$，
P（X=10）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{6}{25}$，
∴X的分布列為：

X	7	8	9	10
P	$\frac{2}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{10}{25}$	$\frac{6}{25}$

EX=$7×\frac{2}{25}+8×\frac{7}{25}+9×\frac{10}{25}+10×\frac{6}{25}$=$\frac{44}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．