Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=kx-1，若方程f（x）-g（x）=0在x∈（-2，2）有三個實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\frac{1}{2}$+ln2）
• B． （$\frac{1}{2}$+ln2，$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，2）
• D． （1，$\frac{1}{2}$+ln2）∪（$\frac{3}{2}$，2）

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值和最值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x=0時，f（0）=0，g（0）=-1，則f（x）-g（x）=0不成立，
即方程f（x）-g（x）=0沒有0解．
即f（x）=g（x）沒有O解，
①當(dāng)x＞0時，xlnx=kx-1，
即kx=xlnx+1，則k=lnx+$\frac{1}{x}$，
設(shè)h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由h′（x）＞0得1＜x＜2，此時函數(shù)遞增，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，此時函數(shù)遞減，
故當(dāng)x=1時，函數(shù)h（x）取得極小值h（1）=1．
當(dāng)x=2時，h（2）=$\frac{1}{2}$+ln2，當(dāng)x→0時，h（x）→+∞，
②當(dāng)x＜0時，x²+4x=kx-1，
即kx=x²+4x+1，則k=x+$\frac{1}{x}$+4，
設(shè)m（x）=x+$\frac{1}{x}$+4，
則m′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
由m′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜-1，此時函數(shù)遞增，
由m′（x）＜0得-1＜x＜0，此時函數(shù)遞減，
故當(dāng)x=-1時，函數(shù)m（x）取得極大值m（-1）=2．
當(dāng)x=-2時，m（-2）=-2-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{3}{2}$，當(dāng)x→0時，m（x）→-∞，
作出 函數(shù)h（x）和m（x）的圖象如圖：
要使方程f（x）-g（x）=0在x∈（-2，2）有三個實(shí)根，
則k∈（1，$\frac{1}{2}$+ln2）∪（$\frac{3}{2}$，2），
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)根的個數(shù)的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的極值以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．