3.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,過C(-1,0)點且斜率為1的直線1與橢圓交于P、Q兩點,滿足$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{CQ}$,
(I)求該橢圓方程;
(Ⅱ)若直線m過點(1,0)且與橢圓交于A、B兩點.求△ABC內(nèi)切圓半徑的最大值.

分析 (I)運用橢圓的離心率公式和直線方程代入橢圓方程,運用韋達定理和向量共線的坐標表示,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;
(Ⅱ)根據(jù)直線m過橢圓的右焦點,利用橢圓的定義得出△ABC的周長是4a,而根據(jù)平面幾何知識知:△ABC的面積是周長的一半乘以內(nèi)切圓半徑,結(jié)合圖形即可得出何時△ABC面積最大即可.

解答 解:(I)由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,可得a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c,
直線l:y=x+1代入橢圓方程可得(b2+a2)x2+2a2x+a2-a2b2=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
可得x1+x2=-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=-$\frac{4}{3}$,x2x1=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2-2^{2}}{3}$,
由$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{CQ}$,可得-1-x1=3(x2+1),
解方程可得x1=0,x2=-$\frac{4}{3}$,b=1,
則a=$\sqrt{2}$,即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(Ⅱ)橢圓的焦點為(-1,0),(1,0),
直線m過右焦點,C為左焦點,
由橢圓的定義可得△ABC的周長是4a=4$\sqrt{2}$,
而△ABC的面積是周長的一半乘以內(nèi)切圓半徑r,
即有面積為$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$r,
又當(dāng)直線m為x=1時,△ABC面積最大,且為$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$,
即有△ABC內(nèi)切圓半徑的最大值為$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用直線和橢圓方程聯(lián)立,由韋達定理和向量共線的坐標表示,考查三角形的內(nèi)切圓半徑的最大值,注意運用等積法,由橢圓的定義和面積公式,屬于中檔題.

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