Question

19．已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=4，且PA、PB、PC兩兩垂直，若此三棱錐的四個頂點都在球面上，則這個球的體積為32$\sqrt{3}$πcm³．

Answer 1

分析 設過A，B，C的截面圓的圓心為O′，半徑為r，球心O到該截面的距離為d，利用PA，PB，PC兩兩垂直，O′為△ABC的中心，求出截面圓的半徑，通過球的半徑截面圓的半徑球心與截面的距離，求出球的半徑，即可求出球的體積．

解答 解：如圖，設過A，B，C的截面圓的圓心為O′，半徑為r，球心O到該截面的距離為d，
∵PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=4，
∴AB=BC=CA=4$\sqrt{2}$，且O′為△ABC的中心，
于是$\frac{4\sqrt{2}}{sin60°}$=2r，得r=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
又PO′=$\sqrt{16-{r}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
OO′=R-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$，解得R=2$\sqrt{3}$，
故V_球=$\frac{4}{3}$πR³=32$\sqrt{3}$π．
故答案為：32$\sqrt{3}$π．

點評 本題是中檔題，考查球的體積的求法，球的截面圓的有關性質，考查空間想象能力，計算能力．