Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（x+4）=f（x），f（1）=f（3），且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，-2≤x≤0}\\{\frac{mx+1}{x-3}，0＜x＜2}\end{array}\right.$．
（1）求m的值；
（2）若h（x）=f（x）+f（-x），x∈[-1，1]，求h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可得m的方程，解方程可得；
（2）當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，可得h（x）=x+2+$\frac{3x+1}{-x-3}$=（x+3）+$\frac{8}{x+3}$-4，換元可得函數(shù)的值域；當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=2f（0）=4，當(dāng)0＜x≤1時(shí)同理可得y∈[4$\sqrt{2}$-2，2]；綜合可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由題意可得f（1）=$\frac{m+1}{1-3}$=-$\frac{m+1}{2}$，
f（3）=f（-1+4）=f（-1）=-1+2=1，
∴-$\frac{m+1}{2}$=1，解得m=-3；
（2）當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，h（x）=x+2+$\frac{3x+1}{-x-3}$
=x+2+$\frac{3（x+3）-8}{-（x+3）}$=x-1+$\frac{8}{x+3}$=（x+3）+$\frac{8}{x+3}$-4
令t=x+3∈[2，3），則t+$\frac{8}{t}$-4∈[4$\sqrt{2}$-2，2]；
當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=2f（0）=4，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h（x）=$\frac{-3x+1}{x-3}$-x+2，令-x=m，
則等價(jià)于-1≤m＜0時(shí)，h（x）=m+2+$\frac{3m+1}{-m-3}$，
與前面形式相同，也有y∈[4$\sqrt{2}$-2，2]；
綜合可得函數(shù)的值域?yàn)椋篬4$\sqrt{2}$-2，2]∪{4}

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，涉及函數(shù)的周期性和分類討論思想，屬中檔題．