Question

18．設(shè)a，b均為正數(shù)，且a²+b²=1，2^abc=2^a•2^b•2^c，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是$[-2\sqrt{2}，-1）$．

Answer 1

分析 2^abc=2^a•2^b•2^c=2^a+b+c，可得abc=a+b+c，c=$\frac{a+b}{ab-1}$．由于a，b均為正數(shù)，且a²+b²=1，可設(shè)a=cosθ，b=sinθ，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．c=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ-1}$，令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（1，\sqrt{2}]$．可得2sinθcosθ=t²-1，可得c=$\frac{2t}{{t}^{2}-3}$=f（t），t∈$（1，\sqrt{2}]$．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵2^abc=2^a•2^b•2^c=2^a+b+c，
∴abc=a+b+c，
∴c=$\frac{a+b}{ab-1}$，
∵a，b均為正數(shù)，且a²+b²=1，
可設(shè)a=cosθ，b=sinθ，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴c=$\frac{a+b}{ab-1}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ-1}$，
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（1，\sqrt{2}]$．
則2sinθcosθ=t²-1，
∴c=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}-1}$=$\frac{2t}{{t}^{2}-3}$=f（t），t∈$（1，\sqrt{2}]$．
f′（t）=$\frac{-2（{t}^{2}+3）}{（{t}^{2}-3）^{2}}$＜0，
∴函數(shù)f（t）在t∈$（1，\sqrt{2}]$上單調(diào)遞減，
∴$f（\sqrt{2}）$≤f（t）＜f（1），
可得：f（t）∈$[-2\sqrt{2}，-1）$．即c∈$[-2\sqrt{2}，-1）$．
故答案為：$[-2\sqrt{2}，-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)換元法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．