Question

8．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，已知線段F₁F₂被點(diǎn)（b，0）分成3：1的兩段，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，線段F₁F₂被點(diǎn)（b，0）分成3：1兩段，可得（b，0）到左焦點(diǎn)的距離等于雙曲線焦距的$\frac{3}{4}$，由此列式：c+b=$\frac{3c}{2}$．再結(jié)合雙曲線中的平方關(guān)系：b²=c²-a²，代入消去b，得到a、c之間的關(guān)系式，從而得出此雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
∴|F₁F₂|=2c
∵線段F₁F₂被點(diǎn)（b，0）分成3：1兩段
∴c+b=$\frac{3c}{2}$
∴b=$\frac{1}{2}$c
∵b²=c²-a²
∴c²-a²=$\frac{1}{4}$c²，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題以求雙曲線的離心率為例，考查了雙曲線中的基本概念與基本關(guān)系等雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．