Question

14．已知函數(shù)f（x）=1og₂（x+1）-1og₂（x-1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)[3，5]上的任意x都有f（x）＜2^x+m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x+1＞0，且x-1＞0得：x＞1，進(jìn)而得到f（x）的定義域；
（2）分析內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)[3，5]上的任意x都有f（x）＜2^x+m成立，則m＞f（x）-2^x在[3，5]上恒成立，令g（x）=f（x）-2^x，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可得g（x）在[3，5]上為減函數(shù)，進(jìn)而得到m的取值范圍．

解答 解：（1）由x+1＞0，且x-1＞0得：x＞1，
故f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
（2）∵函數(shù)y=$\frac{2}{x-1}+1$在（1，+∞）為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=1og₂（x+1）-1og₂（x-1）=${log}_{2}\frac{x+1}{x-1}$=${log}_{2}（\frac{2}{x-1}+1）$在（1，+∞）為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若對(duì)[3，5]上的任意x都有f（x）＜2^x+m成立，
則m＞f（x）-2^x在[3，5]上恒成立，
令g（x）=f（x）-2^x，
∵f（x）在[3，5]上為減函數(shù)，y=2^x在[3，5]上為增函數(shù)，
故g（x）在[3，5]上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=3時(shí)，g（x）取最大值1og₂4-1og₂2-2³=-7，
故m＞-7

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性的性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．