Question

14．同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球，已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R，設(shè)兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為α，β，則tan（α+β）的值是-$\frac{4\sqrt{3}R}{3a}$．

Answer 1

分析 取AB的中點M，連接PM，QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，故∠PMC是側(cè)面PAB與底面所成二面角的平面角，∠QMC是側(cè)面QAB與底面所成二面角的平面角，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，取AB的中點M，連接PM，QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB
∴∠PMC是側(cè)面PAB與底面所成二面角的平面角，∠QMC是側(cè)面QAB與底面所成二面角的平面角，
∴∠PMC=α，∠QMC=β，
設(shè)，OR=h，則MR=$\frac{1}{3}$CM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，CR=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，R²-h²=CR²=$\frac{1}{3}$a²，
∵tanα=$\frac{R-h}{MR}$，tanβ=$\frac{R+h}{MR}$
∴tan（α+β）=$\frac{2R}{MR-\frac{{a}^{2}}{3MR}}$=-$\frac{4\sqrt{3}R}{3a}$，
故答案為：-$\frac{4\sqrt{3}R}{3a}$．

點評 本題考查面面角，考查兩角和的正切公式，考查學(xué)生的計算能力，正確作出面面角是關(guān)鍵，屬于中檔題．