Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點是（-$\sqrt{3}$，0）、（$\sqrt{3}$，0），且由橢圓上頂點、右焦點和原點組成的三角形面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P（0，4），M、N是橢圓C上關于y軸對稱的任意兩個不同的點，連接PN交橢圓C于另一點E，證明：直線ME與y軸相交于定點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用c以及三角形的面積求出a、b的值即可；
（2）根據(jù)題意，求出直線l_ME的方程，令x=0求出直線與y軸的交點，判斷是否為定值．

解答 解：（1）設橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
且橢圓的上頂點、右頂點和原點分別為B，A，O，
半焦距為c，則c=$\sqrt{3}$，
又S_△ABO=$\frac{1}{2}$•b•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=1，
∴a²=b²+c²=4，
∴所求橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；…（5分）
（2）設N（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、M（-x₁，y₁），
直線PN的方程為y=kx+4，則
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\\{y=kx+4}\end{array}\right.$，消去y得：
（1+4k²）x²+32kx+60=0…（7分）
由根與系數(shù)的關系，得
x₁+x₂=$\frac{-32k}{1+{4k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{60}{1+{4k}^{2}}$…（8分）
∴直線l_ME的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{+x}_{1}}$（x+x₁）；…（9分）
∴當x=0時，y=$\frac{{（y}_{2}{-y}_{1}{）x}_{1}}{{x}_{1}{+x}_{2}}$+y₁
=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{x}_{1}{+}_{{x}_{2}}}$
=$\frac{{x}_{2}（{kx}_{1}+4）{+x}_{1}（{kx}_{2}+4）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$
=$\frac{2{{kx}_{1}x}_{2}+4{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$
=$\frac{120}{-32}$+4
=$\frac{1}{4}$；…（12分）
∴直線ME與y軸相交于定點$（0，\frac{1}{4}）$．（13分）

點評 本題考查了橢圓的定義與標準方程的應用問題，也考查了直線與圓錐曲線的綜合應用問題，考查了對稱性問題的應用，是綜合性題目．