Question

17．用數(shù)學(xué)歸納法證明6^2n-1+1（n∈N^•）能被7整除．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式的配湊法，證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立即可

解答 證明：①當(dāng)n=1時，6^2×1-1+1=6+1=7，能被7整除； 
②假設(shè)當(dāng)n=k時，即6^2k-1+1（k∈N^•）能被7整除，
那么當(dāng)n=k+1時：6^2（k+1）-1+1=6^2k+1+1=6^（2k-1）+2+1=6^2k-1×6²+1═6^2k-1×36+1═6^2k-1×（35+1）+1=6^2k-1×35+6^2k-1+1=6^2k-1×5×7+（6^2k-1+1）
由假設(shè)知6^2k-1×5×7+（6^2k-1+1）能被7整除
所以當(dāng)n=k+1時，命題也成立
由①②可知，6^2n-1+1（n∈N^•）能被7整除

點評 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立