Question

8．設函數(shù)f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x+m．
（1）對于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍；
（3）當m=2時，若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+$\frac{9}{2}$x-6+2blnx（b≠0）在[1，2]上單調遞減，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，得到3x²-9x+（6-a）≥0恒成立，根據(jù)判別式△≤0，求出a的范圍即可；
（2）求出f（x）的極大值和極小值，從而求出m的范圍即可；
（3）求出g（x）的導數(shù)，問題轉化為b≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]恒成立，求出$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-9x+6，
x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x²-9x+（6-a）≥0恒成立，
∴△=81-12（6-a）≤0，解得：a≤-$\frac{3}{4}$，
∴a的最大值是-$\frac{3}{4}$；
（2）由f′（x）=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{5}{2}$+m，f（x）_極小值=f（2）=2+m，
故f（2）＞0或f（1）＜0時，方程f（x）=0僅有1個實數(shù)根，
∴m的范圍是（-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（-2，+∞）；
（3）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+$\frac{9}{2}$x-6+2blnx（b≠0），
∴g′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2b}{x}$，
函數(shù)g（x）在[1，2]上單調遞減，則g′（x）≤0在[1，2]恒成立，
從而b≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]恒成立，令h（x）=$\frac{1}{x}$-x²，h′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x＜0，
∴h（x）在[1，2]遞減，h（x）_min=h（2）=-$\frac{7}{2}$，
故b的最大值是-$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．