Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸的兩個相鄰交點之間的距離等于$\frac{π}{2}$，若將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}$]上的最大值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知可求出函數(shù)f（x）的解析式，進而根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則得到函數(shù)y=g（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分析出函數(shù)的單調(diào)性后，求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）
又∵函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩個相鄰交點的距離等于$\frac{π}{2}$=$\frac{T}{2}$，
故函數(shù)的最小正周期T=π，
又∵ω＞0，∴ω=2
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位可得：
y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin2x；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，即$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈Z
故函數(shù)y=g（x）的減區(qū)間為[$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{3π}{4}$+kπ]，k∈Z
當(dāng)k=0時，區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]為函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間
又∵（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]⊆[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{4}$）遞增，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]遞減，
故f（x）_max=f（$\frac{π}{4}$）=2，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象性質(zhì)及變換法則是解答本題的關(guān)鍵．