Question

17．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l在y軸上的截距；
（Ⅱ）過(guò)曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 本題（Ⅰ）由曲線C有參數(shù)方程，消去參數(shù)后，得到其普通方程，再用公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得到曲線C的極坐標(biāo)方程，由直線l的參數(shù)方程，消去參數(shù)后，得到其普通方程，令x=0，得到直線l在y軸上的截距．
（Ⅱ）將直線l平移至與曲線C相切，得到直線m，求出切點(diǎn)記為P，過(guò)點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，此時(shí)的|PA|長(zhǎng)可以利用直角三角形去計(jì)算，所得長(zhǎng)即為最值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
令$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
得：ρ²（9cos²θ+4sin²θ）=36．
∵直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴2x+y-6=0．
令x=0，得：y=3．
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²（9cos²θ+4sin²θ）=36．直線l在y軸上的截距為3．
（Ⅱ）將直線l平移至與曲線C相切，得到直線m，
設(shè)直線m的方程為：2x+y+n=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{2x+y+n=0}\end{array}\right.$，
得到：25x²+16nx+4n²-36=0，
令△=0，得：（16n）²-4×25×（4n²-36）=0，
∴n=±5，
直線l：2x+y-6=0與直線m₁：2x+y-5=0的距離為：
$d=\frac{|-5-（-6）|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac3xn8x1c{sin30°}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
直線l：2x+y-6=0與直線m₂：2x+y+5=0的距離為：
$d=\frac{|-6-5|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}$，
$\fracizqbxld{sin30°}=\frac{22\sqrt{5}}{5}$，
∴|PA|的最大值為$\frac{22\sqrt{5}}{5}$，最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為普通方程、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平行線間的距離，本題有一定的計(jì)算量，難度適中，屬于中檔題．