Question

19．函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0（mn＞0）上，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為4．

Answer 1

分析 先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程，再利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，可得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，
∴A（1，1），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上（mn＞0），
∴m+n=1（mn＞0），
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=2+$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$≥2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴m=n=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．