Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)胡直線交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，交AB于M點(diǎn)，其中點(diǎn)E在第一象限，設(shè)直線DE的斜率為k．
（1）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，證明直線DE平分線段AB．
（2）已知點(diǎn)A（0，1），則：
①若S_△ADM=6S_△AEM，求k；
②求四邊形ADBE面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)離心率的值及a、b、c三者之間的關(guān)系化簡(jiǎn)可得a=2b，進(jìn)而利用通過(guò)設(shè)A（0，b）、B（2b，0），利用過(guò)原點(diǎn)及AB中點(diǎn)P的直線斜率為$\frac{1}{2}$可得結(jié)論；
（2）①通過(guò)點(diǎn)A坐標(biāo)及離心率可知橢圓的方程，進(jìn)而可得A、B的坐標(biāo)，通過(guò)設(shè)直線AB、DE的方程及M、D、E的標(biāo)準(zhǔn)，利用S_△ADM=6S_△AEM及點(diǎn)M在AB上得出一個(gè)關(guān)于k的方程，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；②通過(guò)四邊形ADBE面積為S=S_△OAD+S_△OAE+S_△ODB+S_△OEB化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最大值．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
設(shè)A（0，b）、B（2b，0），則AB中點(diǎn)P（b，$\frac{1}{2}$b），
∵k_OP=$\frac{\frac{1}{2}b-0}{b-0}$=$\frac{1}{2}$，且直線DE的斜率k=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，即直線DE平分線段AB；
（2）由點(diǎn)A（0，1）可知b=1，
由e²=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，可知a²=4，
∴橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，于是B（2，0），
直線AB、DE的方程分別為x+2y=2、y=kx（k＞0）．
①如圖，設(shè)M（x₀，kx₀）、D（x₁，kx₁）、E（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁、x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，①
∵S_△ADM=6S_△AEM，
∴x₀-x₁=6（x₂-x₀），即x₀=$\frac{1}{7}$（6x₂+x₁）=$\frac{5}{7}$x₂=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
又∵由M在AB上，
∴x₀+2kx₀=2，即x₀=$\frac{2}{1+2k}$，
所以$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{2}{1+2k}$，化簡(jiǎn)得24k²-25k+6=0，
解得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$；
②由題設(shè)可知|AO|=1、|BO|=2，D（x₁，kx₁）、E（x₂，kx₂），
不妨設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，
由①可知得x₂＞0，根據(jù)E與D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知y₂=-y₁＞0，
故四邊形ADBE面積S=S_△OAD+S_△OAE+S_△ODB+S_△OEB
=$\frac{1}{2}$|OA|•（-x₁）+$\frac{1}{2}$|OA|•x₂+$\frac{1}{2}$|OB|•y₂+$\frac{1}{2}$|OB|•（-y₁）
=$\frac{1}{2}$|OA|（x₂-x₁）+$\frac{1}{2}$|OB|（y₂-y₁）
=x₂+2y₂
=$\sqrt{（{x}_{2}+2{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+4{x}_{2}{y}_{2}}$
≤$\sqrt{2（{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}）}$
=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x₂=2y₂時(shí)，上式取等號(hào)，
所以四邊形ADBE面積S的最大值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓的綜合問題，直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，注意解題方法的積累，屬于難題．