Question

16．如圖，已知橢圓O：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y=-2上的一個動點（與y軸交點除外），直線PC交橢圓于另一點M．
（1）當(dāng)直線PM過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；
（2）①記直線BM，BP的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值；
②求$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a，b，c，可得B，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，求得PM的方程代入橢圓方程，可得M，再由BF的方程，求得M到直線BF的距離，再由三角形的面積公式計算即可得到所求值；
（2）①設(shè)P（m，-2）（m≠0），求得PM的方程，代入橢圓方程求得M的坐標(biāo)，運用直線的斜率公式計算即可得到k₁•k₂為定值；
②求得向量PB，PM的坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=$\frac{{m}^{4}+15{m}^{2}+36}{4+{m}^{2}}$，令t=4+m²＞4，由函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．

解答 解：（1）由橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有B（0，1），C（0，-1），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，0），
直線PM：$\frac{x}{\sqrt{3}}$+$\frac{y}{-1}$=1，即為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
代入橢圓方程可得，M（$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$\frac{1}{7}$），
連接BF，可得BF：$\frac{x}{\sqrt{3}}$+y=1，即為x+$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0，
而BF=a=2，M到直線BF的距離為d=$\frac{|\frac{8\sqrt{3}}{7}+\frac{\sqrt{3}}{7}-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$，
即有S_△MBF=$\frac{1}{2}$BF•d=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$；
（2）①設(shè)P（m，-2）（m≠0），k_PM=$\frac{-1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{1}{m}$，
PM：y=-$\frac{1}{m}$x-1，代入橢圓方程可得（4+m²）x²+8mx=0，
解得M（-$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{4-{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$），k₁=$\frac{\frac{4-{m}^{2}}{4+{m}^{2}}-1}{-\frac{8m}{4+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{4}$m，k₂=$\frac{1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{3}{m}$，
則k₁k₂=$\frac{1}{4}$m•（-$\frac{3}{m}$）=-$\frac{3}{4}$為定值；
②由①知，$\overrightarrow{PB}$=（-m，3），$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$-m，$\frac{4-{m}^{2}}{4+{m}^{2}}$+2）=（-$\frac{{m}^{3}+12m}{4+{m}^{2}}$，$\frac{{m}^{2}+12}{4+{m}^{2}}$），
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=-m•（-$\frac{{m}^{3}+12m}{4+{m}^{2}}$）+3•$\frac{{m}^{2}+12}{4+{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{4}+15{m}^{2}+36}{4+{m}^{2}}$，
令t=4+m²＞4，即有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=$\frac{（t-4）^{2}+15（t-4）+36}{t}$=t-$\frac{8}{t}$+7，
由y=t-$\frac{8}{t}$+7在（4，+∞）單調(diào)遞增，則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$=t-$\frac{8}{t}$+7＞4-$\frac{8}{4}$+7=9，
故$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PM}$的取值范圍為（9，+∞）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運用，考查直線和橢圓方程聯(lián)立求交點，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和直線的斜率公式和直線方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．