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12.在△ABC中,A=$\frac{π}{6}$,$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$2,|$\overrightarrow{AB}$|=1.
(I)求角B的大小;
(Ⅱ)求△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)設三角形的三邊為a,b,c,由余弦定理可得,a2=b2+1-$\sqrt{3}$b,①,由數量積的運算可得b=$\sqrt{3}$a2,②,由①②求出a,b,再分別求出B的大小,
(Ⅱ)根據三角形的面積公式計算即可.

解答 解:(Ⅰ)設三角形的三邊為a,b,c,
由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA,
∵A=$\frac{π}{6}$,|$\overrightarrow{AB}$|=1.
∴a2=b2+1-$\sqrt{3}$b,①
∵$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$2,
∴bccosA=$\frac{3}{2}$a2
∴b=$\sqrt{3}$a2,②
由①②解得a=1,b=$\sqrt{3}$,或a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
當a=1,b=$\sqrt{3}$,c=1時,
B=π-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$,
當a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時,
B=$\frac{π}{6}$
∴B=$\frac{2π}{3}$或B=$\frac{π}{6}$;
(Ⅱ)由三角形的面積公式,S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA,
當c=1,b=$\sqrt{3}$時,S△ABC=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,
當c=1,b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時,S△ABC=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$.

點評 本題考查了向量的數量積的運算和余弦定理以及三角形的面積公式,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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