Question

19．已知點F（1，0）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為$\sqrt{2}+1$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l₁：y=kx+m，l₂：y=kx-m，若l₁，l₂均與橢圓C相切，試在x軸上確定一點M，使點M到l₁，l₂的距離之積恒為1．

Answer 1

分析 （I）由點F（1，0）是橢圓的焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為$\sqrt{2}+1$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（II）把直線l₁的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由于直線與橢圓相切，可得△=0，m²=1+2k²．設M（t，0），利用點到直線的距離公式可得m，k，t的關系式，代入星期日m即可得出t的值．

解答 解：（Ⅰ）∵點F（1，0）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為$\sqrt{2}+1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+c=\sqrt{2}+1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）把直線l₁的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化為（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直線l₁與橢圓相切，∴△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化為m²=1+2k²．
同理把直線l₂的方程與橢圓的方程聯(lián)立也可得m²=1+2k²．
假設存在定點M（t，0）滿足條件，則$\frac{kt+m}{1+{k}^{2}}×\frac{kt-m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
化為|k²t²-m²|=1+k²，
把m²=1+2k²代入上式化為k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0．
其中k²（t²-3）=2不是對于任意k恒成立，應舍去．
由k²（t²-1）=0對于任意k恒成立，可得t=±1．
綜上可知：滿足題意的點M存在，為（±1，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、點到直線距離公式的合理運用．