Question

16．已知數(shù)列{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，對(duì)于給定的a₁，滿足q²-2a₁q+2a₁-1=0的數(shù)列{a_n}是唯一的，則首項(xiàng)a₁=1或$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由滿足q²-2a₁q+2a₁-1=0的數(shù)列{a_n}是唯一的，得到關(guān)于q的方程的有兩個(gè)相等的不為零的實(shí)數(shù)根，或者q有兩個(gè)根，其中一根為0．

解答 解：滿足q²-2a₁q+2a₁-1=0的數(shù)列{a_n}是唯一的，
∴關(guān)于q的方程的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，或q有兩個(gè)根，其中一根為0；
①關(guān)于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有兩個(gè)相等根：△=4a₁²-4（2a₁-1）=0，解得a₁=1，
經(jīng)驗(yàn)證，關(guān)于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有兩個(gè)相等根q=1，滿足題意；
②關(guān)于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有兩個(gè)根，其中一根為0，將q=0代入方程，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
經(jīng)驗(yàn)證，a₁=$\frac{1}{2}$時(shí)，關(guān)于q的方程q²-2a₁q+2a₁-1=0有兩個(gè)根q=0和q=1，滿足題意；
故答案為：1或$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和方程的根的個(gè)數(shù)，屬于中檔題．