Question

11．在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a=3，求三角形ABC面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡等式可得cosA=$\frac{1}{2}$，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解．
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理和基本不等式可解得0＜bc≤9，代入三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵acosC=（2b-c）cosA．
⇒sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，
⇒sin（A+C）=2sinBcosA，
⇒sinB=2sinBcosA，
⇒cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-9}{2bc}$≥$\frac{2bc-9}{2bc}$，
∴0＜bc≤9，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×9×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面積S的取值范圍（0，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理和基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．