Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），記函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）．
（1）判斷方程F（x）=0的實根的個數(shù)；
（2）設(shè)F（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（3）若函數(shù)|F（x）|在[0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的解析式，求得判別式，即可得到方程的根的個數(shù)；
（2）求出F（x）的對稱軸，討論區(qū)間[1，2]和對稱軸的關(guān)系，即可得到最小值；
（3）討論a＞0，a≤0，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)單調(diào)性，可得$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\ F（1）≤0\end{array}\right.$，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），
∴F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3=0，
則判別式△=（-a）²-4×（-3）=a²+12＞0，
∴方程F（x）=0的實根的個數(shù)為2個；
（2）∵$F（x）=f（x）-g（x）={x^2}-ax-3={（x-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}-3$，
∴對稱軸$x=\frac{a}{2}$，
①當$\frac{a}{2}≤1$，即a≤2時，函數(shù)F（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴F（x）最小值為g（a）=F（1）=-2-a；
②當$1＜\frac{a}{2}＜2$，即2＜a＜4時，函數(shù)F（x）在[1，2]上不單調(diào)，
∴函數(shù)F（x）最小值為$g（a）=F（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-3$；
③當$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4時，函數(shù)F（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴F（x）最小值為g（a）=F（2）=1-2a．
綜上所述，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}-2-a，a≤2\\-\frac{a^2}{4}-3，2＜a＜4\\ 1-2a，a≥4\end{array}\right.$；
（3）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
∴$|{F（x）}|=|{{x^2}-ax-3}|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax-3，F(xiàn)（x）≥0\\-{x^2}+ax+3，F(xiàn)（x）＜0\end{array}\right.$，
當a≤0時，對應的圖象如右，
當a＞0時，對應的圖象如右，
要使函數(shù)|F（x）|在[0，1]上是減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}a≤0\\ F（1）≤0\end{array}\right.$，解得-2≤a≤0．
故所求實數(shù)a的取值范圍是-2≤a≤0．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用：求最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．