Question

8．已知圓O：x²+y²=1和動點(diǎn)P（m，-2），圓C是以O(shè)P為直徑的圓，圓O與圓C相交，設(shè)交點(diǎn)為A，B．
（1）問直線AB是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由；
（2）記直線OA，OB，AB的斜率分別為k₁，k₂，k，若k₁+1，k，k₂+1依次成等差數(shù)列，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線AB的方程代入x²+y²=1，圓C：（x-$\frac{m}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{{m}^{2}+4}{4}$，可得b-1=b²+2b，求出b，即可得出結(jié)論；
（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出m，即可求直線AB的方程．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
∵k_PO=-$\frac{2}{m}$，∴k_AB=$\frac{m}{2}$，
∴y=$\frac{m}{2}$x+b，
代入x²+y²=1，圓C：（x-$\frac{m}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{{m}^{2}+4}{4}$，
可得$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²+mbx+b-1=0與$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²+mbx+b²+2b=0，
∴b-1=b²+2b，
∴b=-$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{m}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴直線l過定點(diǎn)（0，-$\frac{1}{2}$）；
（2）$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²+mbx+b-1=0為$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²-$\frac{1}{2}$mx-$\frac{3}{4}$=0
∴（4+m²）x²-2mx-3=0，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{\frac{m}{2}{x}_{1}-\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$，k=$\frac{m}{2}$，k₂=$\frac{\frac{m}{2}{x}_{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{2}}$，
∵k₁+1，k，k₂+1依次成等差數(shù)列，
∴2k=k₁+1+k₂+1，
代入整理可得m-2=m-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴-2=$\frac{m}{3}$，
∴m=-6，
∴y=-3x-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．