Question

7．已知數(shù)列{a_n}是公差d≠0的等差數(shù)列，且a₅=6．
（1）求{a_n}的前9項(xiàng)的和S₉；
（2）若a₃=3，問在數(shù)列{a_n}中是否存在一項(xiàng)a_m（m是正整數(shù)），使得a₃，a₅，a_m成等比數(shù)列，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由；
（3）若存在自然數(shù)n₁，n₂，n₃，…，n_t（t是正整數(shù)），滿足5＜n₁＜n₂＜n₃＜…＜n_t，使得a₃，a₅，a_n1，
a_n2…，a_nt成等比數(shù)列，求所有整數(shù)a₃的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)即可得出．
（2）由a₃=3，且a₅=6．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{{a}_{1}+4d=6}\end{array}\right.$，可得a_n=$\frac{3}{2}（n-1）$．假設(shè)存在一項(xiàng)a_m（m是正整數(shù)），使得a₃，a₅，a_m成等比數(shù)列，可得${a}_{5}^{2}$=a₃•a_m，解出即可得出．
（3）由題意可得：${a}_{5}^{2}$=a₃$•{a}_{{n}_{1}}$，可得6²=（6-2d）[6+（n₁-5）d]，d≠0．化為：n₁=5-$\frac{6}{d-3}$，對d分類討論即可得出．

解答 解：（1）S₉=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a₅=9×6=54．
（2）由a₃=3，且a₅=6．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{{a}_{1}+4d=6}\end{array}\right.$，解得a₁=0，d=$\frac{3}{2}$，可得a_n=$\frac{3}{2}（n-1）$．
假設(shè)存在一項(xiàng)a_m（m是正整數(shù)），使得a₃，a₅，a_m成等比數(shù)列，
則${a}_{5}^{2}$=a₃•a_m，
∴6²=3×$\frac{3}{2}（m-1）$，解得m=9．
∴存在一項(xiàng)a₉，使得a₃，a₅，a₉成等比數(shù)列．
（3）由題意可得：${a}_{5}^{2}$=a₃$•{a}_{{n}_{1}}$，n₁＞5．
∴6²=（6-2d）[6+（n₁-5）d]，d≠0．
化為：n₁=5-$\frac{6}{d-3}$，
∴d-3＜0，且d-3=-1，-2，-3，-6．
可得：d=2，1，-3，
當(dāng)d=2時(shí)，n₁=11，a₃=6-2d=2．
當(dāng)d=1時(shí)，n₁=8，a₃=6-2d=4．
當(dāng)d=-3時(shí)，n₁=6，a₃=6-2d=12．
綜上可得：a₃=2，4，12．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．