Question

7．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)之和，且S_n+1+S_n=a_n+1²，求S_n、a_n．

Answer 1

分析 利用遞推可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵S_n+1+S_n=a_n+1²，∴當(dāng)n=1時(shí)，$2{a}_{1}+{a}_{2}={a}_{2}^{2}$，∴${a}_{2}^{2}-{a}_{2}$-2=0，a₂＞0，解得a₂=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+S_n-1=${a}_{n}^{2}$．
∴a_n+1+a_n=${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，則a_n+1+a_n＞0．
∴a_n+1-a_n=1．
又a₂-a₁=1．
因此數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．