Question

19．已知△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c．
（1）若acosC=（2b-c）cosA，求角A的大��；
（2）已知3c=2b，且E，F(xiàn)分別是邊AC，AB，的中點(diǎn)，若|BE|＜t|CF|恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，化簡即可得到角A；
（2）要求t的最小值，即要求BE與CF比值的最大值，由AB與AC的關(guān)系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE²，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF²，并表示出BE與CF的平方比，分離出常數(shù)，由A為三角形的內(nèi)角，得到A的范圍，表示比值求出最大值，即可得到t的取值范圍．

解答 解：（1）acosC=（2b-c）cosA，即為：acosC+ccosA=2bcosA，
由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π），
∴sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
∵3c=2b，可得：3AB=2AC，
∴AC=$\frac{3}{2}$AB，
又E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}$AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（$\frac{3}{4}$AB）²-2AB•$\frac{3}{4}$AB•cosA=$\frac{25}{16}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（$\frac{1}{2}$AB）²+（$\frac{3}{2}$AB）²-2•$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{2}$AB•cosA=$\frac{5}{2}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{\frac{25}{16}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}{\frac{5}{2}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}$=$\frac{\frac{25}{16}-\frac{3cosA}{2}}{\frac{5-3cosA}{2}}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{\frac{25}{16}-\frac{3}{2}cosA}{\frac{5}{2}-\frac{3cosA}{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，
∵當(dāng)cosA取最小值時，$\frac{BE}{CF}$比值最大，
∴當(dāng)A→π時，cosA→-1，此時$\frac{BE}{CF}$達(dá)到最大值，最大值為 $\sqrt{1-\frac{15}{40+24}}$=$\frac{7}{8}$，
則 $\frac{BE}{CF}$＜t恒成立，t的最小值為$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查了兩角和差的正弦公式和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查了余弦定理，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及不等式恒成立時滿足的條件，余弦定理建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．