Question

3．已知命題P：函數(shù)y=log_a（1+2x）在定義域上單調(diào)遞減；命題Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．若P∨Q是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知0＜a＜1；由不等式分類討論求恒成立，從而解出a，再求并集即可．

解答 解：∵函數(shù)y=log_a（1+2x）在定義域上單調(diào)遞減；
∴0＜a＜1；
又∵不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；
當(dāng)a=2時(shí)，不等式化簡(jiǎn)為-4＜0，成立；
當(dāng)a≠2時(shí)$\left\{\begin{array}{l}a-2＜0\\△=4{（a-2）^2}+16（a-2）＜0\end{array}\right.$，
即-2＜a＜2；
∴當(dāng)-2＜a≤2時(shí)，原不等式恒成立；
∵P∨Q是真命題，
∴a的取值范圍是-2＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用及簡(jiǎn)易邏輯的應(yīng)用．