Question

8．已知函數(shù)f（x）=kx（k≠0），對(duì)于任意的x都滿足f（x-1）•f（x）=x²-x，函數(shù)g（x）=a^x（a＞0，且a≠1）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知關(guān)于x的方程g（2x+1）=f（x+1）．f（x）恰有一實(shí)數(shù)解為x₀，且，x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x-1）•f（x）=x²-x列出恒等式，得出k；
（2）根據(jù)g（2x+1）=f（x+1）•f（x）得a^2x+1=x²+x．作出函數(shù)圖象，根據(jù)x₀的范圍列出不等式解出．

解答 解：（1）∵f（x-1）•f（x）=x²-x，
∴k（x-1）•kx=x²-x，
即k²x²-k²x=x²-x，∴k²=1，k=1或k=-1．
∴f（x）=x或f（x）=-x．
（2）f（x+1）•f（x）=（x+1）²-（x+1）=x²+x，g（2x+1）=a^2x+1，∴a^2x+1=x²+x．
作出y=a^2x+1與y=x²+x的函數(shù)圖象，如圖所示：
∵a^2x+1=x²+x．有唯一解x₀，且x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．∴0＜a＜1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{\frac{3}{2}}＞（\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{4}}\\{{a}^{2}＜{（\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$（\frac{5}{16}）^{\frac{2}{3}}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$（\frac{5}{16}）^{\frac{2}{3}}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，走出符合條件的函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．