Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（0，nπ）（n∈N^*）內(nèi)恰有9個零點，則實數(shù)a的值為±1．

Answer 1

分析 依題意，f（x）=cos2x+asinx，令F（x）=cos2x+asinx=0，方程F（x）=0等價于關(guān)于x的方程a=-$\frac{cos2x}{sinx}$，x≠kπ（k∈Z）．問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．通過其導(dǎo)數(shù)，分析即可求得答案．

解答 解：依題意，令F（x）=asinx+cos2x=0，
現(xiàn)研究x∈（0，π）∪（π，2π）時方程a=-$\frac{cos2x}{sinx}$的解的情況．
令h（x）=-$\frac{cos2x}{sinx}$，x∈（0，π）∪（π，2π），
則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交點情況．
h′（x）=$\frac{cosx（2si{n}^{2}x+1）}{si{n}^{2}x}$，令h′（x）=0，得x=$\frac{π}{2}$或x=$\frac{3π}{2}$，
當x變換時，由h′（x），h（x）的變化情況可得：
當x＞0且x趨近于0時，h（x）趨向于-∞，
當x＜π且x趨近于π時，h（x）趨向于-∞，
當x＞π且x趨近于π時，h（x）趨向于+∞，
當x＜2π且x趨近于2π時，h（x）趨向于+∞，
故當a＞1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)無交點，在（π，2π）內(nèi)有2個交點；
當a＜-1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點，在（π，2π）內(nèi)無交點；
當-1＜a＜1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）內(nèi)有2個交點，在（π，2π）內(nèi)有2個交點；
由函數(shù)h（x）的周期性，可知當a≠±1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)總有偶數(shù)個交點，
從而不存在正整數(shù)n，使得直線y=a與曲線y=h（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有9個零點；
又當a=1或a=-1時，直線y=a與曲線y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）內(nèi)有3個交點，由周期性，9=3×3，
∴依題意得n=3×2=6．
綜上，當a=1，n=6，或a=-1，n=6時，函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在（0，nπ）內(nèi)恰有9個零點．
故答案為：±1．

點評 本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．