Question

6．已知盒中有大小相同的3個紅球t個白球共3+t個球，從盒中一次性取出3個球，取到白球的期望為$\frac{6}{5}$．若每次不放回地從盒中抽取一個球，一直到抽出所有白球時停止抽取，設(shè)X為停止抽取時取到的紅球個數(shù)，
（Ⅰ）求白球的個數(shù)t；   
（Ⅱ）求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定紅球、白球比為3：2，即可求白球的個數(shù)t；   
（Ⅱ）X的取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）∵盒中有大小相同的3個紅球和t個白球，
從盒中一次性取出3個球，取到白球個數(shù)的期望為$\frac{6}{5}$，
∴取得紅球個數(shù)的期望為$\frac{9}{5}$（加起來是3），
∴紅球、白球比為3：2，
∴白球有2個；
（Ⅱ）X的取值為0，1，2，3，則
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=0.1，P（X=1）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=0.3
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=0.3
P（X=3）=1-0.1-0.3-0.3=0.3
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.1	0.3	0.3	0.3

X的數(shù)學(xué)期望為：E（X）=1×0.3+2×0.3+3×0.3=1.8

點(diǎn)評 本題考查概率的求法和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題．