Question

11．證明：如果a，b，c是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且a（1-2cosA）+b（1-2cosB）+c（1-2cosC）=0，那么△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析 通過余弦定理將角的余弦值用三邊表示出來，代入a（1-2cosA）+b（1-2cosB）+c（1-2cosC）=0，化簡(jiǎn)、配方計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：由余弦定理可知cosA=$\frac{1}{2bc}$（b²+c²-a²），cosB=$\frac{1}{2ac}$（a²+c²-b²），cosC=$\frac{1}{2ab}$（a²+b²-c²），
又∵a（1-2cosA）+b（1-2cosB）+c（1-2cosC）=0，
∴a[1-2•$\frac{1}{2bc}$（b²+c²-a²）]+b[1-2•$\frac{1}{2ac}$（a²+c²-b²）]+c[1-2•$\frac{1}{2ab}$（a²+b²-c²）]=0，
兩邊同乘以abc，整理得：abc（a+b+c）+a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²=0，
變形得：[（a+b）²-c²]（a-b）²+[（a+c）²-b²]（a-c）²+[（b+c）²-a²]（b-c）²=0，
由a、b、c滿足三邊關(guān)系可知a-b=a-c=b-c=0，即a=b=c，
即三角形為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的證明，利用余弦定理是解決本題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．