【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx,記f(x)的導函數(shù)為f'(x).
(1)若h(x)=axf'(x)是(0,+∞)上的單調遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x∈(0,2π),試判斷函數(shù)f(x)的極值點個數(shù),并說明理由.
【答案】(1)a≥1;(2)函數(shù)f(x)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點;理由詳見解析
【解析】
(1)只需h′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,借助于三角函數(shù)的有界性,問題可解決.
(2)分x∈(0,1),,,四種情形分別研究f(x)的單調性,進而得出結論.
解:(1)∵,
∴ax+cosx,因為h(x)是(0,+∞)上的單調遞增函數(shù),
∴h′(x)=a﹣sinx≥0(x>0)恒成立,因為sinx∈[﹣1,1],
故a≥1時,h′(x)≥0恒成立,且導數(shù)為0時不連續(xù).
故a≥1即為所求.
(2)由(1)知,,
①當x∈(0,1]時,f′(x)≥1﹣cosx>0,
此時函數(shù)f(x)單調遞增,無極值點;
②當時,則,
∵,而由三角函數(shù)的性質可知,,
∴,
此時函數(shù)f(x)單調遞增,無極值點;
③當時,cosx<0,則,
此時函數(shù)f(x)單調遞增,無極值點;
④當時,令,則,
∴函數(shù)g(x)單調遞減,
又,
∴存在唯一的,使得g(x0)=0,
且當時,g(x)=f′(x)>0,f(x)單調遞增,
當x∈(x0,2π)時,g(x)=f′(x)<0,f(x)單調遞減,
故x0是函數(shù)f(x)的極大值點,
綜上所述,函數(shù)f(x)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點,無極小值點.
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【題目】如圖,在正方體中,P,Q,M,N,H,R是各條棱的中點.
①直線平面;②;③P,Q,H,R四點共面;④平面.其中正確的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】2019年底,武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情,國家衛(wèi)健委緊急部署,從多省調派醫(yī)務工作者前去支援,正值農(nóng)歷春節(jié)舉家團圓之際,他們成為“最美逆行者”.武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者疑似的新冠肺炎患者無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強化網(wǎng)格化管理,不落一戶不漏一人.若在排查期間,某小區(qū)有5人被確認為“確診患者的密切接觸者”,現(xiàn)醫(yī)護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測,只要出現(xiàn)一例陽性,則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”.假設每人被確診的概率均為且相互獨立,若當時,至少檢測了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值,則____.
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【題目】已知正四棱錐的側棱和底面邊長相等,在這個正四棱錐的條棱中任取兩條,按下列方式定義隨機變量的值:
若這兩條棱所在的直線相交,則的值是這兩條棱所在直線的夾角大。ɑ《戎疲
若這兩條棱所在的直線平行,則;
若這兩條棱所在的直線異面,則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制).
(1)求的值;
(2)求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】設橢圓的離心率,左焦點為,右頂點為,過點的直線交橢圓于兩點,若直線垂直于軸時,有.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線: 上兩點, 關于軸對稱,直線與橢圓相交于點(異于點),直線與軸相交于點.若的面積為,求直線的方程.
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【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況,對該公司2019年連續(xù)六個月的利潤進行了統(tǒng)計,并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應的折線圖,如圖所示:
(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤(單位:百萬元)與月份代碼之間的關系,求關于的線性回歸方程,并預測該公司2020年4月份的利潤;
(2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購一批新型材料,現(xiàn)有A,B兩種型號的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個月,但新材料的不穩(wěn)定性會導致材料的使用壽命不同,現(xiàn)對A,B兩種型號的新型材料對應的產(chǎn)品各100件進行科學模擬測試,得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計如下表:
經(jīng)甲公司測算平均每件新型材料每月可以帶來6萬元收人入,不考慮除采購成本之外的其他成本,A型號材料每件的采購成本為10萬元,B型號材料每件的采購成本為12萬元.假設每件新型材料的使用壽命都是整月數(shù),且以頻率作為每件新型材料使用壽命的概率,如果你是甲公司的負責人,以每件新型材料產(chǎn)生利潤的平均值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款新型材料?
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:回歸直線方程,其中.
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【題目】為弘揚新時代的中國女排精神.甲、乙兩個女排校隊舉行一場友誼比賽,采用五局三勝制(即某隊先贏三局則獲勝,比賽隨即結束).若兩隊的競技水平和比賽狀態(tài)相當,且每局比賽相互獨立,則比賽結束時已經(jīng)進行的比賽局數(shù)的數(shù)學期望是______.
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【題目】廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗,第一次檢測廠家的每件產(chǎn)品合格的概率為,如果合格,則可以出廠;如果不合格,則進行技術處理,處理后進行第二次檢測.每件產(chǎn)品的合格率為,如果合格,則可以出廠,不合格則當廢品回收.
求某件產(chǎn)品能出廠的概率;
若該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元/件,出廠價格為元/件,每次檢測費為元/件,技術處理每次元/件,回收獲利元/件.假如每件產(chǎn)品是否合格相互獨立,記為任意一件產(chǎn)品所獲得的利潤,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
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