Question

3．如圖，ABCD為梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°DC=2AB=2a，DA=$\sqrt{3}$A，PD=$\sqrt{3}$a，E為BC中點，連結AE，交BD于O．
（Ⅰ）平面PBD⊥平面PAE
（Ⅱ）求二面角D-PC-E的大�。ㄈ舴翘厥饨�，求出其余弦即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PBD⊥平面PAE．
（Ⅱ）建立空間坐標系，利用向量法即可求出二面角的平面角的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）  連結BD
∠BAD=∠ADC=90°，
AB=a，DA=$\sqrt{3}a$，
所以BD=CD=BC=2a，
因為E為BC中點，
所以DE=$\sqrt{3}a$=AD，
因為AB=BE=a，DB=DB，
所以△DAB與△DEB為全等三角形
所以∠ADB=∠EDB，
所以△DA0與△DEO為全等三角形
所以在△DAE中，DE⊥AE，
即AE⊥BD…（3分）
又因為PD⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以AE⊥PD…（4分）
而BD∩PD=D，
所以AE⊥平面PBD…（5分）
因為AE?平面PAE，
所以平面PAE⊥平面PBD…（6分）
（Ⅱ） 以D為原點，分別以DA，DB，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，
二面角D-PC-E，即二面角D-PC-B，
AD⊥平面DPC，平面DPC的法向量可設為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）…（7分）
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，1）
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，
而B（$\sqrt{3}a，a，0$），C（0，2a，0），P（0，0，$\sqrt{3}$a），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$a，a，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2a，-$\sqrt{3}$a），
即$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}ax+ay=0}\\{2ay-\sqrt{3}a=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）…（10分）
所以兩平面DPC與平面DBC所成的角的余弦值
為cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）

點評 本題主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空間坐標系，利用向量法是解決二面角的常用方法．