Question

20．對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A，定義A*={z|對(duì)任意x∈A，z≥x}．設(shè)非空實(shí)數(shù)集C⊆D?（-∞，1]．現(xiàn)給出以下命題：
（1）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合C，D，必有D*⊆C*；
（2）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；
（3）對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合C，D，必有C∩D*≠∅．
以上命題正確的是（1）（3）．

Answer 1

分析 由A*={z|?x∈A，z≥x}．可知：數(shù)集A*是數(shù)集A的所有上界組成的集合．進(jìn)而可通過(guò)舉例否定（2），對(duì)于（1）（3）需要利用集合間的關(guān)系去證明．

解答 解：由A*={z|?x∈A，z≥x}．可知：數(shù)集A*是數(shù)集A的所有上界組成的集合．
（1）分別用A_max、A_min表示集合A的所有元素（數(shù)）的最大值、最小值．
由C⊆D及A^*的定義可知：C_max≤C*_min，D_max≤D*_min，C*_min≤D_max，
∴C*_min≤D*_min，∴必有D*⊆C*．故（1）正確．
（2）若設(shè)C=（-∞，1）=D，滿足C⊆D，而C*={1}，此時(shí)C*∩D=∅，故（2）不正確．
（3）若設(shè)C=（-∞，0），D=（-∞，1），滿足C⊆D，而D*=（0，1），此時(shí)C∩D*=∅，故（3）正確．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義，理解數(shù)集A*是數(shù)集A的所有上界組成的集合及集合間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．