Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[

1

e

，e]上的最大值；
（3）已知函數(shù)g（x）=x³+3m²x+2m-

3

2

（m為實(shí)數(shù)），若對(duì)任意x₁∈[

1

e

，e]，x₂∈[0，1]，總有f（x₁）＜g（x₂）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，f′（x）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關(guān)于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值；
（3）求出g（x）最小值為g(0)=2m-

3

2

，命題等價(jià)于f（x）_max＜g（x）_min，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=

a

x

-2bx．
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，解得

a=1 b= 1 2

…（3分）
（2）f(x)=lnx-

1

2

x2，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

…（5分）
當(dāng)

1

e

≤x≤e時(shí)，令f'（x）＞0得

1

e

＜x＜1；令f'（x）＜0，得1＜x＜e；
∴f(x)在(

1

e

，1)上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
∴f(x)max=f(1)=-

1

2

…（8分）
（3）由g'（x）=3x²+3m²≥0知g（x）在[0，1]上單調(diào)增．  …（9分）
g（x）最小值為g(0)=2m-

3

2

，…（10分）
命題等價(jià)于f（x）_max＜g（x）_min…（11分）
即-

1

2

＜2m-

3

2

得m＞

1

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．