Question

20．函數f（x）對任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x＞0時，恒有f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上是增函數；
（2）若f（3）=4，且不等式f（ma²+ma）＜2對任意實數a恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁），由已知可判斷其符號；
（2）令m=n=1可求得f（2），進而可得f（1）=2，利用單調性可去掉不等式中的符號“f”，轉化為具體不等式，結合二次函數的圖象性質，得到答案．

解答 證明：（1）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1，
又f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數．
解：（2）∵m，n∈R，不妨設m=n=1，
∴f（1+1）=f（1）+f（1）-1，即f（2）=2f（1）-1，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=2f（1）-1+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2，
∴f（ma²+ma）＜2=f（1），
∵f（x）在R上為增函數，
∴ma²+ma＜1，即ma²+ma-1＜0恒成立，
當m=0時，顯然滿足條件，
當m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={m}^{2}+4m＜0\end{array}\right.$，即m∈（-4，0），
∴綜上所述，m∈（-4，0]

點評 本題考查抽象函數單調性的判斷、抽象不等式的求解，考查轉化思想，抽象函數的單調性常用定義解決，抽象不等式的求解往往轉化為具體不等式處理．