Question

15．求函數(shù)f（x）=|x²-2ax|+2x的最小值．

Answer 1

分析 先將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別討論不同情況下，函數(shù)的最小值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）=|x²-2ax|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（2-2a）x，x＜2a，或x＞0\\-{x}^{2}+（2+2a）x，2a≤x≤0\end{array}\right.$，
當(dāng)-1＜a＜0時，函數(shù)草圖如下所示：

此時當(dāng)x=a-1時，函數(shù)取最小值-（a-1）²；
當(dāng)a≤-1時，函數(shù)草圖如下所示：

此時當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值0；
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=|x²-2ax|+2x=x²+2x，當(dāng)x=-1時，函數(shù)取最小值-1；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）=|x²-2ax|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（2-2a）x，x＜0，或x＞2a\\-{x}^{2}+（2+2a）x，0≤x≤2a\end{array}\right.$，
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)草圖如下所示：

此時當(dāng)x=a-1時，函數(shù)取最小值-（a-1）²；
當(dāng)a≥1時，函數(shù)草圖如下所示：

此時當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值0；
綜上所述，函數(shù)f（x）=|x²-2ax|+2x的最小值為$\left\{\begin{array}{l}-（a-1）^{2}，-1＜a＜1\\ 0，a≤-1，或a≥1\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．