Question

7．已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱A₁B₁、A₁D₁上，且A₁P=A₁Q=x（0＜x＜1），設(shè)平面MEF∩平面MPQ=l，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． l∥平面ABCD
• B． l⊥AC
• C． 存在x₀∈（0，1），使平面MEF與平面MPQ垂直
• D． 當(dāng)x變化時(shí)，l是定直線

Answer 1

分析 畫出直線l，然后判斷選項(xiàng)即可．根據(jù)空間線面關(guān)系的判定方法，逐一分析四個(gè)答案的真假，可得結(jié)論．

解答 解：如圖作出過M的中截面，

∵棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，M分別是AB、AD、AA₁的中點(diǎn)，
又P、Q分別在線段A₁B₁、A₁D₁上，且A₁P=A₁Q=x，0＜x＜1，
∵QP∥EF，EF∥中截面，由平面與平面平行的性質(zhì)定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，
由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知：l∥面ABCD，故A結(jié)論正確；
∵幾何體是正方體，
∴AC⊥EF，由三垂線定理可知：l⊥AC，故B結(jié)論正確．
過ACC₁A₁的平面如圖，圖中兩條藍(lán)色射線的夾角，即為平面MEF與平面MPQ所成二面角的平面角，
則當(dāng)Q、P與D₁，B₁重合時(shí)，面MEF與面MPQ垂直，此時(shí)x₀=1∉（0，1），故C結(jié)論錯(cuò)誤；
直線l與EF平行，是定直線．故D結(jié)論正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間想象能力，直線與平面，直線與直線的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力．