Question

12．若（ax+$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-40，則a=-3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，（ax+$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展開式中的常數(shù)項(xiàng)，是（2x+$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中$\frac{1}{x}$項(xiàng)的系數(shù)與ax的系數(shù)之積，
再加上x項(xiàng)的系數(shù)與$\frac{1}{x}$的系數(shù)的積，利用（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中含$\frac{1}{x}$與x項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出a的值．

解答 解：（ax+$\frac{1}{x}$）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展開式中的常數(shù)項(xiàng)，
是（2x+$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中$\frac{1}{x}$項(xiàng)的系數(shù)與ax的系數(shù)之積，
再加上x項(xiàng)的系數(shù)與$\frac{1}{x}$的系數(shù)的積；
又（2x+$\frac{1}{x}$）⁵展開式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（2x）^5-r•${（\frac{1}{x}）}^{r}$=2^5-r•${C}_{5}^{r}$•x^5-2r，
令5-2r=-1，解得r=3，
∴T₃₊₁=2²•${C}_{5}^{3}$•$\frac{1}{x}$=40•$\frac{1}{x}$；
令5-2r=1，解得r=2，
∴T₂₊₁=2³•${C}_{5}^{2}$•x=80•x；
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：
40a+80=-40，
解得a=-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問題，熟練掌握二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．