Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+sin2x-1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的集合；
（3）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先用降冪公式，輔助角公式化簡函數(shù)式，得出最小正周期；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)圖象圖得出最值和相應(yīng)x的取值；
（3）運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-（1-2sin²x）
=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
函數(shù)的最小正周期為：T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）由（1）可知f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，
令2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{3π}{8}$，
即f（x）的最大值$\sqrt{2}$，
此時(shí)，x取值的集合為{x|x=x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}；
（3）令2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，
解得x∈[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換和復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，涉及降冪公式和輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．