Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα+n}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）經(jīng)過(guò)橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)F．
（1）求m，n的值；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，可得F的坐標(biāo)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，n），可求m，n的值；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|FA|•|FB|的最大值與最小值．

解答 解：（1）橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
∴a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0）．
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，n），∴m=4，n=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理得：（12cos²α+16sin²α）t²+12tcosα-36=0．
設(shè)點(diǎn)A，B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{36}{12co{s}^{2}α+16si{n}^{2}α}$=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，
當(dāng)sinα=0時(shí)，|FA|•|FB|取最大值3；
當(dāng)sinα=±1時(shí)，|FA|•|FB|取最小值$\frac{9}{4}$，
所以|FA|•|FB|的取值范圍是[$\frac{9}{4}$，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化成普通方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用參數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵．