Question

4．在直角坐標xOy系中，直線l經(jīng)過點P（-1，0），其傾斜角為α，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xoy取相同的長度單位，建立極坐標系，設(shè)曲線C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+1=0．
（l）寫出直線l的參數(shù)方程，若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍；
（2）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C的直角坐標方程為x²+y²-6x+1=0，將直線l的參數(shù)方程代入x²-y²-6x-1=0，得t²-8tcosα+8=0，再利用根的判別式能求出α的取值范圍．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），由此利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出x+y的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+1=0，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²-6x+1=0，
∵直線l經(jīng)過點P（-1，0），其傾斜角為α，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
將$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入x²-y²-6x-1=0，
整理，得t²-8tcosα+8=0，
∵直線l與曲線C有公共點，
∴△=64cos²α-32≥0，即cosα≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或cosα≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵α∈[0，π），∴α的取值范圍是[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π）．
（2）曲線C的直角坐標方程x²+y²-6x+1=0可化為（x-3）²+y²=8，
其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∵M（x，y）為曲線C上任意一點，
∴x+y=3+2$\sqrt{2}$cosθ+2$\sqrt{2}sinθ$=3+4sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∴x+y的取值范圍是[-1，7]．

點評 本題考查角的取值范圍的求法，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．