Question

18．某物流公司購買了一塊長AM=60m，寬AN=30m的矩形地塊AMPN，規(guī)劃建設(shè)占地如圖則矩形ABCD的倉庫，其余地方為道路和停車場，要求頂點C在地塊對角線MN上，B，D分別在邊AM，AN上．若規(guī)劃建設(shè)的倉庫是高度與AB的長相同的長方體建筑，問AB長為多少時倉庫的庫容最大？并求最大庫容．（墻體及樓板所占空間忽略不計）

Answer 1

分析 通過設(shè)AB的長度為x米，利用相似三角形可知AD=30-$\frac{1}{2}$x，進而對倉庫的庫容V（x）=-$\frac{1}{2}$x³+30x²（0＜x＜60）求導(dǎo)可知當x=40時V（x）有極大值也是最大值，代入計算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)AB的長度為x米，
∵$\frac{DC}{AM}$=$\frac{ND}{AN}$，且AM=60、AN=30，
∴ND=$\frac{AB}{AM}$•AN=$\frac{1}{2}$x，AD=AN-ND=30-$\frac{1}{2}$x，
倉庫的庫容V（x）=（30-$\frac{1}{2}$x）•x•x=-$\frac{1}{2}$x³+30x²（0＜x＜60），
令V′（x）=-$\frac{3}{2}$x²+60x=0，解得：x=40或x=0（舍），
∵當0＜x≤40時V′（x）＞0、當40＜x＜60時V′（x）＜0，
∴當x=40時V（x）有極大值也是最大值，且最大值為V（40）=16000m³，
即AB的長度為40米時倉庫的庫容最大，最大庫容為16000立方米．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合能力，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．