Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AB=1，當直線PD與平面PBC所成角的正弦值最大時，該幾何體的外接球的體積為$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，使用向量法求出PD與平面PBC所成角的正弦關于PA的函數(shù)，使用基本不等式知識得出線面角的正弦取得最大值時PA的值，計算PC，則PC為外接球的直徑．

解答 解：以A為坐標原點，建立空間坐標系如圖所示：
設PA=h，則P（0，0，h），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）．
∴$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，h）.$\overrightarrow{DP}$=（0，-1，h）．
設平面PBC的發(fā)行量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+hz=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（h，0，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}$=h，
則直線PD與平面PBC所成角的正弦值為cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DP}|}$=$\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+1}\sqrt{{h}^{2}+1}}$=$\frac{h}{{h}^{2}+1}$=$\frac{1}{h+\frac{1}{h}}$．
∴當h=1時，直線PD與平面PBC所成角的正弦值取得最大值$\frac{1}{2}$．
連結(jié)AC，則AC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{A{C}^{2}+P{A}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴外接球的半徑r=$\frac{1}{2}PC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{4}{3}π×\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．

點評 本題考查了線面角的計算，棱錐與外接球的關系，關于空間角的計算通常使用空間向量來解決，屬于中檔題．