Question

20．如圖，△ACB，△ADC都為等腰直角三角形，M為AB的中點(diǎn)，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AD=2
（1）求證：BC⊥平面ACD
（2）求直線MD與平面ADC所成的角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給邊的長度和△ACB，ADC都為等腰直角三角形即可知道∠ADC=90°，BC⊥AC，而根據(jù)平面ADC⊥平面ACB即可得到BC⊥平面ACD；
（2）取AC中點(diǎn)E，連接ME，DE，便容易說明∠EDM是直線MD與平面ADC所成的角，由已知條件即知ME=DE=$\sqrt{2}$，從而得到∠EDM=45°．

解答 解：（1）證明：根據(jù)已知條件便知∠ADC=90°，∠ACB=90°；
∴BC⊥AC；
∵平面ADC⊥平面ACB，平面ADC∩平面ACB=AC；
∴BC⊥平面ACD；
（2）如圖，取AC中點(diǎn)E，連接ME，DE，∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，則：
ME∥BC，ME=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$；
由（1）BC⊥平面ACD；
∴ME⊥平面ACD；
∴∠MDE為直線MD和平面ADC所成角；
∴在Rt△MDE中，直角邊ME=DE；
∴∠MDE=45°；
即直線MD與平面ADC所成的角為45°．

點(diǎn)評 考查直角三角形邊的關(guān)系，面面垂直的性質(zhì)定理，以及中位線的性質(zhì)，線面角的概念及求法．