Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+1nx，g（x）=x²+b，已知它們的圖象在x=1處有相同的切線．
（1）求函數(shù)f（x）和g（z）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-m[g（x）+x]在區(qū)間[2，3]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式，利用在點(diǎn)x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用斜率相等列出等式．從而求出a，b．
（2）求出F（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，令h（x）=（1-2m）x²-mx+1，
解法一、對(duì)m討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考慮圖象在[2，3]與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，解不等式組即可得到m的范圍；
解法二、運(yùn)用參數(shù)分離，求出右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，求得最值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²+1nx，g（x）=x²+b，
f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，g′（x）=2x，
由題意可得，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），
即有a=1+b，2a+1=2，解得a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx，g（x）={x^2}-\frac{1}{2}$；
（2）解法一、由（1）可知$F（x）=（\frac{1}{2}-m）{x^2}-mx+lnx+\frac{m}{2}$，
則$F'（x）=\frac{{（1-2m）{x^2}-mx+1}}{x}$，記h（x）=（1-2m）x²-mx+1，
要使F（x）在區(qū)間[2，3]上不單調(diào)，
當(dāng)1-2m=0時(shí)，h（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，顯然不滿足題意；
則①$\left\{\begin{array}{l}1-2m＜0\\ h（2）＞0\\ h（3）＜0\end{array}\right.$，解得m∈Φ，或②$\left\{\begin{array}{l}1-2m＞0\\ h（2）＞0\\ h（3）＞0\\ 2＜-\frac{m}{2（1-2m）}＜3\\△＞0\end{array}\right.$，解得m∈Φ，
或③$\left\{\begin{array}{l}1-2m＞0\\ h（2）＜0\\ h（3）＞0\end{array}\right.$，解得m∈Φ，或④$\left\{\begin{array}{l}1-2m＞0\\ h（2）＞0\\ h（3）＜0\end{array}\right.$，解得$\frac{10}{21}＜m＜\frac{1}{2}$，
故滿足條件的m的取范圍為$\frac{10}{21}＜m＜\frac{1}{2}$．
解法二：$F'（x）=\frac{{（1-2m）{x^2}-mx+1}}{x}$，記h（x）=（1-2m）x²-mx+1，
設(shè)當(dāng)F（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)時(shí)，恒有h（x）≥0或h（x）≤0，
分離變量得：$m≤\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}+x}}$或$m≥\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}+x}}$，
$y'=（\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}+x}}）'=\frac{{{x^2}-4x-1}}{{{{（2{x^2}+x）}^2}}}＜0（x∈[2，3]）$，
所以$y=\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}-x}}$在[2，3]上遞減．
即${y_{max}}=y{|_{x=2}}=\frac{1}{2}，{y_{min}}=y{|_{x=3}}=\frac{10}{21}$-，
即得此時(shí)$m≤\frac{10}{21}$或$m≥\frac{1}{2}$．
所以滿足F（x）在區(qū)間[2，3]上不單調(diào)時(shí)，m的取值范圍為$\frac{10}{21}＜m＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解及待定系數(shù)法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．