Question

11．已知a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n=1，2，3，…
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（3）記${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)S_n，并證明${S_n}+\frac{2}{{3{T_n}-1}}=1$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將點(diǎn)（a_n，a_n+1）代入函數(shù)f（x）=x²+2x方程，兩邊加1、結(jié)合完全平方公式可得a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，兩邊取對(duì)數(shù)即可；
（2）通過(guò)（1）及a₁=2即lg（1+a₁）=lg3可得a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$-1，利用同底指數(shù)乘法的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）①通過(guò)對(duì)a_n+1=a_n（a_n+2）取倒數(shù)、裂項(xiàng)，整理可得$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，進(jìn)而有${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），并項(xiàng)相加即可；②通過(guò)T_n=${3}^{{2}^{n}-1}$，計(jì)算易知$\frac{2}{3{T}_{n}-1}$=$\frac{2}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，比較即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，
∴a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n，
∴a_n+1+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，
兩邊取對(duì)數(shù)得 lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即$\frac{lg（1+{a}_{n+1}）}{lg（1+{a}_{n}）}$=2，
∴數(shù)列{lg（1+a_n）}是公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：∵a₁=2，∴l(xiāng)g（1+a₁）=lg3，
∴l(xiāng)g（1+a_n）=2^n-1•lg3=lg${3}^{{2}^{n-1}}$，
∴1+a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$-1；
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）
=${3}^{{2}^{0}}$•${3}^{{2}^{1}}$•${3}^{{2}^{2}}$•…•${3}^{{2}^{n-1}}$
=${3}^{{2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}}$
=${3}^{\frac{1-{2}^{n}}{1-2}}$
=${3}^{{2}^{n}-1}$；
（3）①解：∵a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n=a_n（a_n+2），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+2}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，
∴${b_n}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_n}+2}}$
=$\frac{1}{{a}_{n}}$+（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{2}{{a}_{n+1}}$）
=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）
=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$），
∵a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$-1，a₁=2，
∴a_n+1=${3}^{{2}^{n}}$-1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_n=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$）=1-2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)S_n=1-2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$；
②證明：∵T_n=${3}^{{2}^{n}-1}$，
∴$\frac{2}{3{T}_{n}-1}$=$\frac{2}{3•{3}^{{2}^{n-1}}-1}$=$\frac{2}{{3}^{{2}^{n-1}+1}-1}$=$\frac{2}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
又∵S_n=1-2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$，
∴S_n+2•$\frac{1}{{3}^{{2}^{n}}-1}$=1，
∴${S_n}+\frac{2}{{3{T_n}-1}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，熟練掌握利用取對(duì)數(shù)法把已知轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題求解、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”法等是解題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．