Question

14．已知函數(shù)h（x）=log_a（4-x）-log_a（4+x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)h（x）的奇偶性并加以證明；
（Ⅱ）若a=2，比較h（1）與h（2）的大小，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若x∈[-2，2]時(shí)，都有h（x）∈[-1，1]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)h（x）的定義域，再判斷h（-x）和h（x）的關(guān)系即可；（Ⅱ）將a=2代入函數(shù)的表達(dá)式，計(jì)算h（1）-h（2）即可判斷；（Ⅲ）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）為奇函數(shù)
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4-x＞0}\\{4+x＞0}\end{array}\right.$，解得：-4＜x＜4（1分）
∴函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?4，4），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又h（-x）=${log}_{a}^{（4+x）}$-${log}_{a}^{（4-x）}$=-h（x）（3分）
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)．   （4分）
（Ⅱ）∵h(yuǎn)（1）-h（2）=（${log}_{2}^{3}$-${log}_{2}^{5}$）-（${log}_{2}^{2}$-${log}_{2}^{6}$）=${log}_{2}^{\frac{9}{5}}$＞${log}_{2}^{1}$=0，
∴h（1）＞h（2）（7分）
（Ⅲ）∵y=4-x在[-2，2]上單調(diào)遞減，y=4+x在[-2，2]上單調(diào)遞增（8分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
y=${log}_{a}^{（4-x）}$在[-2，2]上單調(diào)遞增，y=${log}_{a}^{（4+x）}$在[-2，2]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)h（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∴h_max（x）=h（2）=${log}_{a}^{2}$-${log}_{a}^{6}$=${log}_{a}^{\frac{1}{3}}$，
h_min（x）=h（-2）=${log}_{a}^{6}$-${log}_{a}^{2}$=${log}_{a}^{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{log}_{a}^{\frac{1}{3}}≤1}\\{{log}_{a}^{3}≥-1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤\frac{1}{3}}\\{a≤\frac{1}{3}}\end{array}\right.$⇒0＜a≤$\frac{1}{3}$（10分）
當(dāng)a＞1時(shí)，
y=${log}_{a}^{（4-x）}$在[-2，2]上單調(diào)遞減，y=${log}_{a}^{（4+x）}$在[-2，2]上單調(diào)遞增
∴函數(shù)h（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減
∴h_min（x）=h（2）=${log}_{a}^{2}$-${log}_{a}^{6}$=${log}_{a}^{\frac{1}{3}}$，
h_max（x）=h（-2）=${log}_{a}^{6}$-${log}_{a}^{2}$=${log}_{a}^{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{{log}_{a}^{3}≤1}\\{{log}_{a}^{\frac{1}{3}}≥-1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≥3}\\{a≥3}\end{array}\right.$⇒a≥3，
綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{3}$]∪[3，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問(wèn)題，考察對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值的大小，是一道中檔題．