Question

19．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿足下列條件：（1）f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都有f（x₁）f（x₂）+g（x₁）g（x₂）=g（x₁-x₂）．則當(dāng)n＞2，n∈N^*時(shí)，2[f（x）]ⁿ+2[g（x）]ⁿ的最大值為2．

Answer 1

分析 既然對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂），那么分別令x₁=x₂=x，求出f（x）和g（x）的范圍，再根據(jù)不等式求出即可．

解答 解：令x₁=x₂=x，得：得f²（x）+g²（x）=g（0）=1，
∴f²（x）≤1，∴-1≤f（x）≤1，-1≤g（x）≤1
∴|fⁿ（x）|≤f²（x），|gⁿ（x）|≤g²（x）對(duì)n＞2，n∈N^*時(shí)恒成立，
[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ≤f²（x）+g²（x）=1，
即2[f（x）]ⁿ+2[g（x）]ⁿ的最大值為：2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查賦值法求抽象函數(shù)的性質(zhì)屬于中檔題．